高二 数学 函数 请详细解答,谢谢! (23 19:41:17)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)大于-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有俩个相等的跟,求f(x)的解析式

问题描述:

高二 数学 函数 请详细解答,谢谢! (23 19:41:17)
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)大于-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有俩个相等的跟,求f(x)的解析式

(1)当 时, 符合要求-------------------------------------3分
(2)(物理方向考生做)若 , ,
当 时, , ,
当 时, ,
①当 , ,此时 在 上单调减,在 上单调
增,则在 上 ;---------------------------5分
②当 ,此时 ,此时 在 上单调增,
在 上单调减,在 上单调增,
由于 ,
则在 上 ;----------------7分
③当 ,此时 ,则此时 在 上单调增,
在 上单调减,在 上单调增,在 上单调增,
则在 上 ;------------------9分
综合①②③有:
当 时, ;
当 时, .-----------------10分
(3)(物理方向考生做)
(i)当 时, ,方程 只有0根;------------------11分
(ii)当 时,方程 没有0根和正根,
当 , 时, ,
由方程 得 ,
则 ,得 ;------------------------------13分
(ii)当 时,方程 没有0根和负根,
当 , 时, ,
由方程 得 ,
则 ,得 ;------------------------------15分
综上可知,对任意的实数 ,存在 ,恒有 .------16分

设f(x)=ax^2+bx+c
那么ax^2+bx+c>-2x的解集为(1,3)
ax^2+(b+2)x+c>0
a(x-1)(x-3)>0
ax^2-4ax+3a>0
所以b=-4a-2,c=3a
f(x)+6a=0
ax^2-(4a+2)x+3a+6a=0
△=[-(4a+2)]^2-4a*9a=0
16a^2+16a+4-36a^2=0
-20a^2+16a+4=0
5a^2-4a-1=0
(5a+1)(a-1)=0
a1=-1/5,a2=1
因为a(x-1)(x-3)>0的解集在(1,3)
所以aa=-1/5
f(x)=(-1/5)x^2-(6/5)x-3/5