已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）． （1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式； （2）若函数f（x）的最大值不小于8，求实数a的取
问题描述：
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最大值不小于8，求实数a的取值范围．
答
设f（x）=ax2+bx+c，
则f（x）＞2x⇔ax2+（b-2）x+c＞0．
已知其解集为（1，3），
∴
a＜0 −
＝4⇔b＝2−4ab−2 a
＝3⇔c＝3ac a
∴f（x）=ax2+（2-4a）x+3a．
（1）若f（x）+6a=0有两个相等的根，
故ax2-（4a-2）x+9a=0，
△=4+16a2-16a-36a2=0，
解得a=-1或
（舍去正值），1 5
∴a=-1即f（x）=-x2+6x-3；
（2）由以上可知f（x）=a（x-
）2+2a−1 a
，−a2+4a−1 a
∴f（x）max=
≥8，−a2+4a−1 a
得a2-4a+1≥-8a⇔a2+4a+1≥0，
解得a≥-2+
或a≤-2-
3
3
又∵a＜0，
∴a的取值范围是（-∞，-2-
）∪[-2+
3
，0）．
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