已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式; (2)若函数f(x)的最大值不小于8,求实数a的取

问题描述:

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)的最大值不小于8,求实数a的取值范围.

设f(x)=ax2+bx+c,
则f(x)>2x⇔ax2+(b-2)x+c>0.
已知其解集为(1,3),

a<0
b−2
a
=4⇔b=2−4a
c
a
=3⇔c=3a

∴f(x)=ax2+(2-4a)x+3a.
(1)若f(x)+6a=0有两个相等的根,
 故ax2-(4a-2)x+9a=0,
△=4+16a2-16a-36a2=0,
解得a=-1或
1
5
(舍去正值),
∴a=-1即f(x)=-x2+6x-3;
(2)由以上可知f(x)=a(x-
2a−1
a
2+
a2+4a−1
a

∴f(x)max=
a2+4a−1
a
≥8,
得a2-4a+1≥-8a⇔a2+4a+1≥0,
解得a≥-2+
3
或a≤-2-
3
  
又∵a<0,
∴a的取值范围是(-∞,-2-
3
)∪[-2+
3
,0).