如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连接DE,DF.(1)求证:△BEF∽△CEG;(2)当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由;(3)设BE=x,△DEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
问题描述:
如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连接DE,DF.
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由;
(3)设BE=x,△DEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
答
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DG,所以∠B=∠GCE,∠G=∠BFE,所以△BEF∽△CEG.(2)△BEF与△CEG的周长之和为定值.理由一:过点C作FG的平行线交直线AB于H,因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形...
答案解析:(1)有AB∥DG,即可直接得到两个三角形相似.
(2)两个三角形的周长之和是定值.利用勾股定理可求出BM=3,又因为Rt△BEF∽Rt△BAM,令BE=x,那么根据相似比,可用含x的代数式分别表示EF,BF,同样在△CEG中,令CE=y,可用含y的代数式表示CG,EG,又x+y=10,那么能求出两三角形的周长和是
(x+y)=24.12 5
(3)利用相似比、勾股定理可得EF=
x,CG=4 5
(10-x),那么利用三角形的面积公式,可得到y与x的关系式,再根据二次函数求最大值来求即可.3 5
考试点:二次函数综合题;三角形的面积;勾股定理;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.
知识点:本题利用了被两条平行线所截的两个三角形相似,相似三角形的判定和性质,勾股定理,三角形的面积公式,二次函数求最大值的问题.