设p,q满足log9(p)=log12(q)=log16(p+q),求q/p的值
问题描述：
设p,q满足log9(p)=log12(q)=log16(p+q),求q/p的值
答
log9(p)=log12(q)=log16(p+q)
lgp/(2lg3)=lgq/(2lg2+lg3)=lg(p+q)/4lg2
[lgp+lg(p+q)]/(4lg2+2lg3)=lgq/(2lg2+lg3)
lgp+lg(p+q)=2lgq
lg(p^2+pq)=lg(q^2)
p^2+pq-q^2=0
q^2-pq-p^2=0
q=p(1±√5)/2
q/p=(1±√5)/2
答
令log9(p)=log12(q)=log16(p+q)=k
则p=9^k,q=12^k,p+q=16^k
所以9^k+12^k=16^k
两边除16^k
(9/16)^k+(12/16)^k=1
所以(3/4)^2k+(3/4)^k-1=0
令a=(3/4)^k,则a>0
a^2+a-1=0
a>0
所以a=(-1+√5)/2=(3/4)^k
p=9^k,q=12^k
p/q=9^k/12^k=(3/4)^k=(-1+√5)/2
所以q/p=2/(-1+√5)=(1+√5)/2