设抛物线方程x²=2py(p>0),M为直线l:y设抛物线方程x²=2py(p>0),M为直线l:y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点为A,B,若M(2,-2),求线段AB的长p是已知的，那个M(2,-2)是大题里一个小问的条件啊....辛苦你了...居然还算对...
问题描述：
设抛物线方程x²=2py(p>0),M为直线l:y
设抛物线方程x²=2py(p>0),M为直线l:y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点为A,B,若M(2,-2),求线段AB的长
p是已知的，那个M(2,-2)是大题里一个小问的条件啊....辛苦你了...居然还算对...
答
因为M(2,-2),M为直线l:y=-2p上任意一点，所以p＝1
设切线方程为y+2=k(x-2) 联立x²=2y，
因为相切，判别式等于零，解得k=2+（2*根2）和k=2－（2*根2）
即两个切点横坐标为2+（2*根2）和2－（2*根2）
代入抛物线方程得纵坐标分别为6+（4*根2）和6－（4*根2）
两点间距离得：AB＝4*根10
答
设切线方程为y=ax+b,与y=x²/2p联立,得到x²-2apx-2bp=0,
判别式=4a²p²+8bp=0,故b=-a²p/2,切线方程为y=ax-a²p/2,切点x=ap.
切线方程经过M(2,-2p),则-2p=2a-a²p/2,得pa²-4a-4p=0
则A点对应方程一个根a1,B点对应另外一个根a2.a1+a2=4/p,a1a2=-4,
则(a1-a2)^2=16+16/p²
则A(pa1,a1²p/2),B(pa2,a2²p/2).
二者距离的平方=(pa1-pa2)^2+(a1²p/2-a2²p/2)^2=p²/4*(a1-a2)^2*(4+(a1+a2)^2)
=p²/4*16(1+1/p²)*(4+16/p²)
距离为4*sqrt[(p²+1)(p²+4)]/p