已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若F(x)＝f(x)x＞0−f(x)x＜0当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

答

（Ⅰ）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．即b=2，a=1．（3分）
所以f（x）=（x+1）²．（4分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1
=(x−

k−2

2

)2+1−

(k−2)2

4

．（6分）
所以当

k−2

2

≥2或

k−2

2

≤−2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．（9分）
（Ⅲ）f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax²+1．
所以F(x)＝

ax2+1x＞0 −ax2−1x＜0.

（10分）
因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．（12分）
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．（14分）
答案解析：（Ⅰ）根据f（-1）=0，可得a-b+1=0，再根据方程f（x）=0有且只有一个根，利用根的判别式再列出一个a和b的关系式，联立方程组即可解得a和b的值．
（Ⅱ）首先求出g（x）的函数关系式，然后根据函数的单调性进行解答，即可求出k的取值范围．
（Ⅲ）由f（x）为偶函数，求出b=0，设m＞0，则n＜0，又知m+n＞0，故可得m＞-n＞0，最后把m和n代入求出F（m）+F（n）＞0．
考试点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇偶性与单调性的综合．
知识点：本题主要考查函数解析式的求法、函数单调性的性质和奇偶性与单调性综合运用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握函数单调性的性质，利用奇偶性进行解题，此题难度不是很大．