在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．（1）求角C的最大值；（2）若角C取得最大值，且a=2b，求角B的大小．
问题描述：
在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（1）求角C的最大值；
（2）若角C取得最大值，且a=2b，求角B的大小．
答
知识点：熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式△的关系、分类讨论的思想方法、三角函数的单调性、平方关系、两角和差的正弦余弦公式等是解题的关键．
（1）易知cosC=0不满足条件，因此cosC≠0，由不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立，∴△=16sin2C-24cosC≤0，cosC＞0，化为2cos2C+3cosC-2≥0，解得cosC≥12，又0＜C＜π，当cosC=12时，角C取得最大值π3．（...
答案解析：（1）易知cosC=0不满足条件，因此cosC≠0，由不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立⇔△=16sin2C-24cosC≤0，cosC＞0，化为2cos2x+3cosx-2≥0，
解得及0＜C＜π，即可得到角C取得最大值．
（2）角C取得最大值时为
，由a=2b，根据正弦定理可得sinA=2sinB，于是sin(π 3
−B)＝2sinB，化为cosB=2π 3
sinB，与sin2B+cos2B=1联立及B＜A，即可得出．
3
考试点：三角函数的最值．
知识点：熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式△的关系、分类讨论的思想方法、三角函数的单调性、平方关系、两角和差的正弦余弦公式等是解题的关键．