已知二次函数y=2x^2-(2a+1)*x+a^2-1的最小值为0,则a的值为?

问题描述:

已知二次函数y=2x^2-(2a+1)*x+a^2-1的最小值为0,则a的值为?

解.设a^x=t,
则y=t²+2t-1=(t+1)²-2
函数的图像是条开口向上,对称轴为t=-1的抛物线
当0根据点离对称轴越远值越大,可知函数的最大值为f(1/a),则有
(1/a+1)²-2=14
解得a=1/3或a=-1/5(略去)
所以此时a=1/3
当a>1时,t∈[1/a,a]
根据点离对称轴越远值越大,可知函数的最大值为f(a),则有
(a+1)²-2=14
解得a=3或a=-5(略去)
所以此时a=3

y=2[x^2-(2a+1)x/2]+a^2-1
=2[x^2-(2a+1)x/2+(2a+1)^2/16]-2*(2a+1)^2/16+a^2-1
=2[x^2-(2a+1)/4]^2+(4a^2-4a-9)/8
最小值=(4a^2-4a-9)/8=0
4a^2-4a-9=0
a=(1±√10)/2