求证:一个奇数的平方被8除必须余1.

证明：设奇数为：2n+1，n∈Z+；∵(2n+1)^2=4n^2+4n+1 =4n(n+1)+1
∴（2n+1)^2/8=[4n(n+1)+1]/8
=[n(n+1)/2]+(1/8)
∴无论n取何值，n(n+1)都被2整除
∴一个奇数的平方被8除必余1

设这个奇数为2N+1，N从0开始取正整数。对这个奇数平方后的4N²+4N+1，对这个式子进行变形得4×N×（N+1）+1,此式子第一项中N×（N+1）必定一个为奇数一个为偶数，其乘积必定为偶数，故而可以提取一个2出来，2×4为8，所以这个式子的第一项必定整除8，第二项为余数1.

奇数可以表示为2k+1
(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1
k和k+1中必有一个是偶数
因此k(k+1)是偶数
4k(k+1)可以被8整除
(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1被8除必余1

设奇数为2n+1，n=0,1,2,3.....
(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1
n=0,1,2,3.....，则n与n+1中必有一个为偶数，所以4n（n+1）比能被8整除
所以(2n+1)^2被8除必余1.即一个奇数的平方被8除必须余1