已知二次函数f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x),最大值为15,且方程f(x)=0的两根立方和为17,求f(x)的解析式拜求过程
问题描述：
已知二次函数f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x),最大值为15,且方程f(x)=0的两根立方和为17,求f(x)的解析式
拜求过程
答
f(x)的解析式：f(x) = -6x^2 + 12x + 9
设f(x)的解析式为：f(x) = ax^2 + bx + c
由f(1+x)=f(1-x) 得：a(1+x)^2 + b(1+x) + c = a(1-x)^2 + b(1-x) + c
解此方程得：2a + b = 0
即 b = -2a
所以有：f(x) = ax^2 - 2ax + c
因为最大值为15,也就是顶点纵座标为15,所以有：（4ac - 4a^2)/(4a)=15
解此方程得：c = a+15
所以有：f(x) = ax^2 - 2ax + a+15
由韦达定理知：
f(x)=0的两根之和：x1+x2 = 2;
f(x)=0的两根之积：x1*x2 = (a+15)/a
因为 x1^3 + x2^3 = 17
即：(x1 + x2)(x1^2 - x1*x2 + x2^2) = 17
(x1 + x2)[(x1+x2)^2 - 3 x1*x2 ] = 17
2[4 - 3(a+15)/a] = 17
a = -6
所以,f(x) = -6x^2 + 12x + 9