设A是n*m阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵
问题描述：
设A是n*m阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵
答
这个有个很典型的公式，你是数学系的一定要会。
det（En-AB）=det（Em-BA），可逆矩阵行列式不为0，行列式不为0矩阵可逆。所以后者是可逆矩阵。
公式证明如下：分块矩阵
[En A
B Em]经过初等行列变换可以变成如下两种形式
[En 0
0 Em-BA]和
[En-AB 0
0 ,Em]
初等变换不改变行列式的值，因此得到结论。
答
证:因为
(E-BA)[E+B(E-AB)^-1A]
= E-BA+B(E-AB)^-1A-BAB(E-AB)^-1A
= E-BA+B(E-AB)(E-AB)^-1A
= E-BA+BA
= E.
所以 E-BA 可逆,且 (E-BA)^-1 = E+B(E-AB)^-1A.