设m*n矩阵A,m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,矩阵B=PAQ,证明：r(A)=r(B)
问题描述：
设m*n矩阵A,m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,矩阵B=PAQ,证明：r(A)=r(B)
答
m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q可以看成初等矩阵的乘积。
也就是说，B是A经过若干初等行变换和初等列变换之后的到得。
初等变换不改变矩阵的秩，
当然r(A)=r(B)
答
由于P与Q可以写成有限个初等矩阵的乘积, 例如设P=P1P2...Ps, Q=Q1Q2...Qt, 所以
B=PAQ=P1P2...PsAQ1Q2...Qt, 而矩阵A左乘或者右乘初等矩阵相当于对矩阵A做了初等行变换或者初等列变换, 这不会改变矩阵的秩, 所以r(A)=r(B)