已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆

分类: 作业答案 • 2023-01-12 20:39:16

问题描述：

已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆
最好用反证法

答

反证,若E-BA不可逆,则存在X不为0,使(E-BA)X=0 (方和有非零解) -> X=BAX ,则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX＝0
也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX),与题设矛盾,所以E-BA可逆,但这种证法不能求其逆的具体表示