对于-1≤a≤1,不等式x2+(a-2)x+1-a>0恒成立的x的取值范围是(  )A. 0<x<2B. x<0或x>2C. -1<x<1D. x<1或x>3

问题描述:

对于-1≤a≤1,不等式x2+(a-2)x+1-a>0恒成立的x的取值范围是(  )
A. 0<x<2
B. x<0或x>2
C. -1<x<1
D. x<1或x>3

令f(a)=x2+(a-2)x+1-a=(x-1)a+x2-2x+1,
∵-1≤a≤1,不等式x2+(a-2)x+1-a>0恒成立,

f(1)>0
f(−1)>0
x2−3x+2>0
x2−x>0
,解得:x<0或x>2.
故选B.
答案解析:构造函数f(a)=x2+(a-2)x+1-a=(x-1)a+x2-2x+1,由
f(1)>0
f(−1)>0
即可求得x的取值范围.
考试点:二次函数的性质;函数恒成立问题.
知识点:本题考查函数恒成立问题,关键在于合理转化,突出考查分析转化与灵活运用知识解决问题的能力,属于中档题.