（理科）若锐角α，β满足tanα•tanβ＝137，且sin(α−β)＝53，求（1）cos（α-β）；（2）cos（α+β）

问题描述：

（理科）若锐角α，β满足tanα•tanβ＝

，且sin(α−β)＝

，求
（1）cos（α-β）；（2）cos（α+β）

答

（1）∵α，β为锐角，则-

＜α-β＜

，
而sin（α-β）=

＞0，则0＜α-β＜

，
∴cos（α-β）=

1−sin2(α−β)

；（6分）
（2）∵tanαtanβ=

，
∴

cos(α+β)

cos(α−β)

cosαcosβ−sinαsinβ

cosαcosβ+sinαsinβ

1−tanαtanβ

1+tanαtanβ

1−

，
又cos（α-β）=

，
∴cos（α+β）=-

．（12分）
答案解析：（1）由α，β为锐角，得到α-β的范围，再根据sin（α-β）的值大于0，得到α-β为锐角，故利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos（α-β）的值；
（2）分别利用两角和与差的余弦函数公式化简

cos(α+β)

cos(α−β)

后，分子分母同时除以cosαcosβ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanαtanβ的值代入求出

cos(α+β)

cos(α−β)

的值，然后再由（1）得到的cos（α-β）的值，即可求出cos（α+β）的值．
考试点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．
知识点：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，第二问先求出

cos(α+β)

cos(α−β)

的值，然后借助第一问求出的cos（α-β）的值，从而得到cos（α+β）的值，注意此方法的技巧性．

（理科）若锐角α，β满足tanα•tanβ＝137，且sin(α−β)＝53，求（1）cos（α-β）； （2）cos（α+β）