已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足OR=12(OP+OQ)，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子①tanαtanβ=1；②sinα+sinβ≤2；③cosα+cosβ＞1；④|tan（α-β）|＞tanα+β2中一定正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
问题描述：
已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足
=
OR
(1 2
+
OP
)，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子
OQ
①tanαtanβ=1；②sinα+sinβ≤
；③cosα+cosβ＞1；④|tan（α-β）|＞tan
2
α+β 2
中一定正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答
∵
=
OR
(1 2
+
OP
)，R在抛物线准线上的射影为S，
OQ
∴△PQS是直角三角形，则α+β=
，故①②③都对，π 2
当PQ垂直对称轴时|tan(α-β)|=0＜tan
，α+β 2
故一定正确的命题有3个，
故选C
答案解析：由已知中抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足
=
OR
(1 2
+
OP
)，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，可得△PQS是直角三角形，则α+β=
OQ
，进而可得①②③正确；举出反倒可判断④错误，进而得到答案．π 2
考试点：命题的真假判断与应用
知识点：本题以命题的真假判断为载体考查了抛物线的几何性质，三角函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．