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已知数列11×2，12×3，13×4，…1n(n+1)，…，计算S1，S2，S3，由此推测计算Sn的公式，并证明．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:39:25
问题描述：

已知数列

1
1×2
，
1
2×3
，
1
3×4
，…
1
n(n+1)
，…，计算S1，S2，S3，由此推测计算Sn的公式，并证明．

答

S1=1-

1
2
=
1
2
，S2=1-
1
2
+
1
2
−
1
3
=
2
3
，S3=1-
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
=
3
4
，猜测Sn=
n
n+1
．
运用数学归纳法证明：当n=1时，S1=
1
2
，S1=
1
1×2
，等式成立，
假设当n=k时，Sk=
k
k+1
成立，
则当n=k+1时，Sk+1=Sk+
1
(k+1)(k+2)
=
k
k+1
+
1
k+1
−
1
k+2
=1-
1
k+2
=
k+1
(k+1)+1
，
即当n=k+1时，等式也成立．
故对n∈N*，测Sn=
n
n+1
都成立．
答案解析：S1=1-
1
2
=
1
2
，S2=1-
1
3
=
2
3
，S3=1-
1
4
=
3
4
，猜想：Sn=1-
1
n+1
；利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
考试点：数学归纳法；归纳推理．
知识点：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．

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