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已知数列1/1×2，1/2×3，1/3×4，…1/n(n+1)，…，计算S1，S2，S3，由此推测计算Sn的公式，并证明．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 11:32:17

问题描述：

已知数列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

，…，计算S₁，S₂，S₃，由此推测计算S_n的公式，并证明．

答

S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+

1

2

−

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

2

+

1

2

−

1

3

+

1

3

−

1

4

=

3

4

，猜测S_n=

n

n+1

．
运用数学归纳法证明：当n=1时，S₁=

1

2

，S₁=

1

1×2

，等式成立，
假设当n=k时，S_k=

k

k+1

成立，
则当n=k+1时，S_k+1=S_k+

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

k+1

−

1

k+2

=1-

1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
即当n=k+1时，等式也成立．
故对n∈N*，测S_n=

n

n+1

都成立．