设矩形ABCD(AB>CD)周长为4,把它关于AC折起来,AB折过去后交DC于点P.设AB=X,求三角形ADP的最大面积以设矩形ABCD(AB>CD)周长为4,把它关于AC折起来,AB折过去后交DC于点P.设AB=X,求三角形ADP的最大面积以及相应的X的值

问题描述:

设矩形ABCD(AB>CD)周长为4,把它关于AC折起来,AB折过去后交DC于点P.设AB=X,求三角形ADP的最大面积以
设矩形ABCD(AB>CD)周长为4,把它关于AC折起来,AB折过去后交DC于点P.设AB=X,求三角形ADP的最大面积以及相应的X的值

既然是矩形,AB就不可能大于CD,只有AB=CD

AB=CD !

AB=X,CD=2-X,设PD=Y.
由折叠可知,角PAC=角BAC,因为CD平行AB,角DCA=角BAC=角PAC,
所以,PA=PC=X-Y.
在直角三角形APD中,由勾股定理可得,PA平方=PD平方+AD平方,
即 (X-Y)平方=Y平方+(2-X)平方,Y=(2X-2)/X
三角形ADP的面积S=1/2AD*PD=1/2*(2-X)(2X-2)/X=-(X+2/X-3)
因为X,2/X都是正数,所以,当X=2/X时,X+2/X有最小值,X=根号2,最小值是2根号,
这时,S有最大值3-2根号2,X=根号2.

矩形ABCD中应有AB=CD。