求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

问题描述:

求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

已知:在平行四边形ABCD中,AC,BD是其两条对角线,
求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
证明:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,
则∠AEB=∠DFC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF,
∴△ABE≌△DCF,
∴AE=DF,BE=CF.
在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理,得
AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2
又∵AE2+BE2=AB2
即:AC2+BD2=2(AB2+BC2).
∵AB=CD,AD=BC,
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2