已知a+b/a−b=b+c/2(b−c)=c+a/3(c−a),a,b,c互不相等.求证:8a+9b+5c=0.

问题描述:

已知

a+b
a−b
b+c
2(b−c)
c+a
3(c−a)
,a,b,c互不相等.求证:8a+9b+5c=0.

证明:设

a+b
a−b
=
b+c
2(b−c)
=
c+a
3(c−a)
=k,则
a+b=k(a-b),b+c=2k(b-c),
(c+a)=3k(c-a).
所以6(a+b)=6k(a-b),
3(b+c)=6k(b-c),
2(c+a)=6k(c-a).以上三式相加,得
6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)
=6k(a-b+b-c+c-a),
即8a+9b+5c=0.