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A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝π2，则椭圆离心率的范围是_．

分类: 作业答案 • 2023-01-20 19:59:16
问题描述：

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝

π
2
，则椭圆离心率的范围是______．

答

设椭圆的方程为

x2
a2
+
y2
b2
＝1，设 A （a，0），点P（acost，bsint）．
 由题意得，
PO
 •
PA
=0，∴（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）•（a-acost ）+b2sin2t=0，化简可得 c2cos2t-a2cost+a2-c2=0，
∴e2cos2t-cost+1-e2=0，∴e2=
1
1+cost
．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴
1
2
＜e2＜1，∴
2
2
＜e＜1，
故答案为
2
2
＜
c
a
＜1．

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