若函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围为(  ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-1,1)

问题描述:

若函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围为(  )
A. (-∞,+∞)
B. (-∞,1)
C. (-1,+∞)
D. (-1,1)

求一阶导数可得f'(x)=3x2-3a2,两个极值点分别在x=a、x=-a,代入函数,得f(a)=-2a3+1,f(-a)=2a3+1,
当a>0时,f(a)>3或f(-a)<3,得出a<1,
当a<0时,f(a)<3或f(-a)>3,得出a>-1,
当a=0时,显然成立;
则答案为:-1<a<1,
故选D.