在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x． （1）当点G与点D重合时，求x的值； （2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．
问题描述：
在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．
答
（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BC=4，
∴x=AB=BC=4；
（2）∵点F为AD中点，且AD=BC=4，
∴AF=
AD=2，1 2
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴
=AE CE
=FE BE
=AF CB
=2 4
，1 2
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分别由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，即（3AE）2=x2+42，（3FE）2=22+x2，
两式相加，得9（AE2+FE2）=2x2+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+FE2=AF2=4，
∴36=2x2+20，
解得：x=2
或x=-2
2
（舍去），
2
故x=2
；
2
∵F为AD的中点，
由对称性得到BF=CF，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴
=EF EB
=AF CB
，1 2
∴sin∠ECF=
=EF CF
=EF BF
．1 3