过椭圆3x^2+4y^2=12的左焦点作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2) 若x1+x2=—1,则AB=?
问题描述：
过椭圆3x^2+4y^2=12的左焦点作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2) 若x1+x2=—1,则AB=?
答
椭圆方程化为 x^2/4+y^2/3=1 ,
所以 a^2=4 ,b^2=3 ,c^2=a^2-b^2=1 ,
左焦点为 F（-1,0）,设直线方程为 y=k(x+1) ,
代入椭圆方程得 3x^2+4k^2(x+1)^2=12 ,
化简得 (4k^2+3)x^2+8k^2*x+4k^2-12=0 ,
由已知 x1+x2=-8k^2/(4k^2+3)=-1 ,
解得 k^2=3/4 ,所以 x1*x2=(4k^2-12)/(4k^2+3)=-3/2 ,
则由 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(k^2+1)(x2-x1)^2=(k^2+1)*[(x1+x2)^2-4x1*x2]=7/4*(1+6)=49/4
得 |AB|=7/2 .