已知函数y=mx2−6mx+m+8的定义域为R.(1)求实数m的取值范围;(2)当m变化时,若y的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.
问题描述:
已知函数y=
的定义域为R.
mx2−6mx+m+8
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m变化时,若y的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.
答
(1)依题意,当x∈R时,mx2-6mx+m+8≥0恒成立.当m=0时,x∈R;
当m≠0时,
m>0 △≤0
即
.
m>0
(-6m)2-4m(m+8)≤0
解之得0<m≤1,故实数m的取值范围0≤m≤1.
(2)当m=0时,y=2
;
2
当0<m≤1,y=
.
m(x-3)2+8-8m
∴ymin=
.
8-8m
因此,f(m)=
(0≤m≤1),
8-8m
易得0≤8-8m≤8.
∴f(m)的值域为[0,2
].
2