已知函数y=mx2−6mx+m+8的定义域为R.(1)求实数m的取值范围;(2)当m变化时,若y的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.

问题描述:

已知函数y=

mx2−6mx+m+8
的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m变化时,若y的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.

(1)依题意,当x∈R时,mx2-6mx+m+8≥0恒成立.当m=0时,x∈R;
当m≠0时,

m>0
△≤0

m>0
(-6m)2-4m(m+8)≤0

解之得0<m≤1,故实数m的取值范围0≤m≤1.
(2)当m=0时,y=2
2

当0<m≤1,y=
m(x-3)2+8-8m

∴ymin=
8-8m

因此,f(m)=
8-8m
(0≤m≤1),
易得0≤8-8m≤8.
∴f(m)的值域为[0,2
2
].