在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sinC,则△ABC是(  )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形

问题描述:

在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sinC,则△ABC是(  )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形

∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,
∴(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)=(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB),
可得sinAcosB(a2+b2-a2+b2)=cosAsinB(a2-b2+a2+b2).
即2b2sinAcosB=2a2cosAsinB…(*)
根据正弦定理,得bsinA=asinB
∴化简(*)式,得bcosB=acosA
即2RsinBcosB=2RsinAcosA,(2R为△ABC外接圆的半径)
化简得sin2A=sin2B,
∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形.
故选:D
答案解析:利用两角和与差的三角函数以及正弦定理,化简整理推出sin2A=sin2B,从而得出出A与B的关系,由此即可得到三角形的形状.
考试点:三角形的形状判断.
知识点:本题考查三角形的形状的判断,两角和与差的三角函数的应用,正弦定理的应用,考查计算能力.