如图直线y=kx-k+2与抛物线y=1、4x²-1、2x+5、4交于A,B两点抛物线的对称轴于x轴交与点Q(1)证明直线y=kx-k+2过定点P并求出P的坐标(2)当k=0时证明△AQB是等腰三角三角形(3)对于任意的实数

问题描述:

如图直线y=kx-k+2与抛物线y=1、4x²-1、2x+5、4交于A,B两点抛物线的对称轴于x轴交与点Q(1)证明直线y=kx-k+2过定点P并求出P的坐标(2)当k=0时证明△AQB是等腰三角三角形(3)对于任意的实数

(1)证明:∵y=kx-k+2=k(x-1)+2,∴当x-1=0,即x=1时,y=2,故,直线y=kx-k+2过定点P(1,2);(2)证明:当k=0时,直线y=kx-k+2=2,交点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标符合方程组:
y=2
y=1
4
x2−
1
2
x+
5
4
,解得:
x1=−1
y1=2
,
x2=3
y2=2
,即A(-1,2),B(3,2),抛物线y=
1
4
x2-
1
2
x+
5
4
=
1
4
(x-1)2+1,∵抛物线的对称轴与x轴交于点Q,∴Q(1,0),∴AB=
(−1−3)2+(2−2)2
=4,AQ=
(−1−1)2+(2−0)2
=2
2
,BQ=
(3−1)2+(2−0)2
=2
2
,∴AB2=AQ2+BQ2,AQ=BQ,所以,△AQB是等腰直角三角形;(3)存在定直线与以AB为直径的圆相切,此直线即x轴,解析式是y=0.理由如下:交点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标符合方程组:
y=kx−k+2
y=1
4
x2−
1
2
x+
5
4
,消掉y得,
1
4
x2-(
1
2
+k)x+k-
3
4
=0,∵x1+x2=2+4k,x1x2=4k-3,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2+4k)2-4(4k-3)=16k2+16,(y1-y2)2=k2(x1-x2)2=k2(16k2+16),∴AB=
(x1−x2)2+(y1−y2)2
=
(16k2+16)+k2(16k2+16)
=4k2+4,∴以AB为直径的圆的半径为2k2+2,∵AB的中点是(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
),
x1+x2
2
=
2+4k
2
=2k+1,
y1+y2
2
=
k(x1+x2)
2
-k+2=k(2k+1)-k+2=2k2+2,∴AB的中点,即以AB为直径的圆的圆心坐标为(2k+1,2k2+2),∵圆心到x轴的距离刚好等于半径,∴存在定直线与以AB为直径的圆相切,此直线即x轴,解析式是y=0.