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设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)·f(y),当x>0时,有0⑴求证：f(0)=1,且当x1⑵证明：f(x)在R上单调递减

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:11:51
问题描述：

设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)·f(y),当x>0时,有0⑴求证：f(0)=1,且当x1
⑵证明：f(x)在R上单调递减

答

（1）令x=0,y=0,所以有f(0)=f^2(0),f(0)[f(0)-1]=0,所以有
f(0)=0或f(0)=1.当f(0)=0,对于x>0,f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,与当x>0时,有0（2）对于任意的x0,所以0f(x)*f(-x)=f(-x+x)=f(0)=1,所以f(x)>1
（3）对于任意的x10,
f(x2)-f(x1)=f(x1+x0)-f(x1)=f(x1)f(x0)-f(x1)=f(x1)[f(x0)-1]
由于x0>0,所以00,所以f(x2)-f(x1)所以函数f（x）是减函数

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