使函数y=1+2的x次方+a*4的x次方>0.在x属于负无穷大到1(包括1)上恒成立.求a的范围

问题描述:

使函数y=1+2的x次方+a*4的x次方>0.在x属于负无穷大到1(包括1)上恒成立.求a的范围

化成a>-(1+2^x)/4^x 在(-∞,1]上恒成立
设2^x=t,x∈(-∞,1]则0不等式右边设为g(t)=-(1+t)/t^2 =-(1/t²+1/t)
=-(1/t+1/2)^2+1/4 (1/t>=1/2)
g(t)取最大值为-3/4 故a>-3/4

令2^x=t,可把原命题转换为求y=1+t+at²>0在(0,2]恒成立
当a=0时,y=1+t>1在(0,2]成立
当a>0时,因对称轴-1/a故只要1+2*0>0及1+2+a*4>=0,则a>0
当a0及1+2+a*4>=0,则-3/4所以a>-3/4

令2^x=t,x∈(-∞,1]则0则y=1+t+at^2 当a>=0时,y=1+t>1>0成立
当a=a(t+1/2a)^2-1/4a+1
af(2)=1+t+at^2=1+2+4a=3+4a>0
-3/4-3/4