已知函数f(x)＝px−p/x−2lnx． （1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)＝px−
−2lnx．p x
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．
答
（1）当p=2时，函数f(x)＝2x−
−2lnx，2 x
f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)＝2+
−2 x2
，2 x
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．
（2）f′(x)＝p+
−p x2
＝2 x
．px2−2x+p x2
令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝
∈(0，+∞)，1 p
∴h(x)min＝p−
，只需p−1 p
≥0，1 p
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．