就是关于那个定积分“求定积分:∫ln(tanx)dx (o≤x≤π/2),积分是限是π/2,下限是0"的一些问题
问题描述：
就是关于那个定积分“求定积分:∫ln(tanx)dx (o≤x≤π/2),积分是限是π/2,下限是0"的一些问题
∫ln(tanx)dx
=∫[0,π/2] ln(tanx)dx
=∫[0,π/4]ln(tanx)dx+∫[π/4,π/2]ln(tanx)dx
=∫[0,π/4]ln(tanx)dx+∫[π/4,π/2]lncot(π/2-x)dx
=∫[0,π/4]ln(tanx)dx+∫[π/4,0]lncotud(π/2-u)
=∫[0,π/4]ln(tanx)dx+∫[π/4,0]lntanudu
=∫[0,π/4]ln(tanx)dx-∫[0,π/4]ln(tanu)du
=0
您的答案中,=∫[0,π/4]ln(tanx)dx+∫[π/4,0]lncotud(π/2-u)
=∫[0,π/4]ln(tanx)dx+∫[π/4,0]lntanudu
这两步中,第二步是如何变化的来的,是不是又经过一次换元,那么前面的积分上下限不用变换吗?
答
可以不用这么麻烦,开始时就可以换元了.令x = π/2 - u,dx = - du当x = 0,u = π/2,当x = π/2,u = 0K = ∫(0→π/2) lntanx dx= ∫(π/2→0) lntan(π/2 - u) (- du)= ∫(0→π/2) lncotu du= ∫(0→π/2) lncotx dx...