设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1a．（1）a=12，b=0，c=38，求x12+x22的值（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜x12（3）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1．

答

（1）f(x)−x＝

1

2

x2−x+

3

8

＝0⇒x1x2＝

3

4

，x1+x2＝2，
∴

x

2 1

+

x

2 2

＝(x1+x2)2−2x1x2=

5

2

------（3分） 
（2）∵x0＝−

b

2a

---------（4分）      
∴x0+

1

2a

＝−

b−1

2a

＝

1

2

(x1+x2)----------（6分）
∵x2＜

1

a

⇒

x2

2

＜

1

2a

，
∴

1

2

x1+

1

2

x2＜

1

2

x1+

1

2a

⇒x0+

1

2a

＜

1

2

x1+

1

2a

，
∴x0＜

x1

2

----------------（8分）
（3）设f（x）-x=a（x-x₁）（x-x₂）----------（9分）        
∵x∈（0，x₁）∴x-x₁＜0，x-x₂＜0，a＞0，
∴f（x）-x＞0⇒x＜f（x）--------（11分）
f（x）-x₁=f（x）-x+x-x₁=a（x-x₁）（x-x₂）+（x-x₁）=（x-x₁）[a（x-x₂）+1]--------（13分）
∵−

1

a

＜x−x2＜0∴−1＜a(x−x2)＜0⇒f(x)−x1＜0⇒f(x)＜x1--------（14分）
答案解析：（1）利用韦达定理，即可求x₁²+x₂²的值；
（2）方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，函数f（x）的图象，关于直线x=x₀对称，利用放缩法推出x₀＜

x1

2

；
（3）方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，所以构造函数，当x∈（0，x₁）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x₁-f（x），化简分析出f（x）＜x₁，即可．
考试点：函数与方程的综合运用．
知识点：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．