设二次函数f(x)=x^2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0⑴求实数a的取值范围;⑵试比较f(0)f(1)-f(0)与1/16的大小,并说明理由.
问题描述：
设二次函数f(x)=x^2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0
⑵试比较f(0)f(1)-f(0)与1/16的大小,并说明理由.
答
1.求实数a的取值范围
(1)
∵f(x)-x
=x^2 +ax+a -x
=x^2 +(a-1)x +a,
∴△=(a-1)^2 -4a＞0
解得 a＜3-2√2 或 a＞3+2√2 。
(2)
∵f(x) -x =0的两根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1,
∴x^2 +(a-1)x +a =(x -x1)(x -x2)
展开比较，得 a =(x1)*(x2)
∴0＜a＜1
(3)
为了确保
抛物线f(x)=x^2+ax+a，(a＞0)
与
直线g(x) =x
的两个交点均在 x=0 和 x=1 之间，
所以
令f(0)＞g(0) 且 f(1)＞g(1)
则a＞0
综上所述，实数a的取值范围是开区间(0 , 3-2√2) 。
【图解】
∵y =x^2 与 y =x 只有两个交点(0,0)和(1,1)
而当 a＞ 0时，f(x) =x^2 +ax +a ＞ x^2
∴f(x)=x^2 +ax +a 与 y =x 的两个交点必在x=0和x=1之间。
2.比较f(0)f(1)-f(1)与f(1/16)的大小关系
f(0)f(1)-f(1)
=a(2a +1) -(2a +1)
=(a-1)(2a +1)
＜0
f(1/16)
=a^2 /256 +a/16 +a
＞0
f(0)f(1)-f(1)＜f(1/16)