已知函数f(x)=-x^2+2x 10证明；f(x)在[1,+00]上是减函数； 2）当x属于[2,5]时,求f(x)的最大值和最小值

证明：1）由题意知：函数f(x)=-x^2+2x的图像开口向下，对称轴为x=-（2/-（2*1))=1
即有：f(x)=-x^2+2x在[1，+00]上是减函数
2）由1）知f(x)=-x^2+2x在[1，+00]上是减函数，即可知
当x属于[2,5]时，f(x)max=f(2)=……
f(x)min=f(5)=……

f(x)=-x^2+2x =-(x^2-2x+1-1)=-(x-1)^2+1
因此其对称轴是x=1，又抛物线开口向下，所以f(x)在[1，+∞]上是减函数
当x属于[2,5]时，函数单减
因此最小值在x=5处取得为f(5)=-15,最大值在x=2处取得为f(2)=0

1)画出图象直接判断.
2)当x属于[2,5]时,我们可以画出该一元二次函数的图象(画这种函数的图象初中教过吧)直接判断.
当然我们也可以直接从函数上看出来:
二次项系数为-1所以函数图象开口向下.
对称轴=-b/2a=-2/(-2)=1.而[2,5]在该对称轴的右侧,所以呈单调递减.
所以在[2,5]区间内,f(x)的最大值=f(2)=0,最小值=f(5)=-15.
解答完毕.

因为配方f(x)=-x^2+2x +10=-(x^2-2x+1-1)+10=-(x-1)^2+11
所以对称轴是x=1，抛物线开口向下，所以f(x)在[1，+∞]上是减函数
当x属于[2,5]时，函数单减
因此当x=5时，取得最小值为f(5)=-5,当x=2时，取最大值得为f(2)=10

证明：
设x1>x2>=1
则 f(x1)-f(x2)=-x1^2+2*X1-(-x2^2+2*x2)
=-x1^2+2*X1+x2^2-2*x2
= x2^2- x1^2 +2*X1-2*x2
=(x2+x1)(x2-x1)-2(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1-2)
因为x1>x2
所以上式中x2-x1=1
所以x1+x2>=2 即x1+x2-2>=0
综上：f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)

1.证明：因为f（x)=-x^2+2x =-（x-1)^2+1,所以f‘（x）=-2x+2＜0，得到x＞1，所以函数f（x）在[1，+∞）
2.因为f(x)在[1，+∞]上是减函数，所以在[2，5]的最小值为f（5）=-15，最大值伟f（2)=0