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已知数列{an}的首项a1=3，通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1（n≥2）．（1）求证{1/Sn}是等差数列，并求公差；（2）求数列{an}的通项公式．

分类: 作业答案 • 2023-01-14 18:05:51
问题描述：

已知数列{an}的首项a1=3，通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1（n≥2）．
（1）求证{

1
Sn
}是等差数列，并求公差；
（2）求数列{an}的通项公式．

答

（1）∵2an=SnSn-1（n≥2）∴2（Sn-Sn-1）=SnSn-1
两边同时除以SnSn-1，得2(

1
Sn-1
-
1
Sn
)=1
∴
1
Sn
-
1
Sn-1
=-
1
2

∴{
1
Sn
}是等差数列，公差d=-
1
2

（2）∵
1
S1
=
1
a1
=
1
3

∴
1
Sn
=
1
3
+(n-1)×(-
1
2
)=-
1
2
n+
5
6
=
5-3n
6

∴Sn=
6
5-3n

当n≥2时，an=
1
2
SnSn-1=
1
2
×
6
5-3n
×
6
8-3n
=
18
(5-3n)(8-3n)

∴an=
3 ，n=1
18
(8-3n)(5-3n)
 ，n≥2

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