设函数f(x)=ax2+bx,则是否存在实数a,使得至少有一个正实数b,使函数f(x)的定义域和值域相同?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

问题描述:

设函数f(x)=

ax2+bx
,则是否存在实数a,使得至少有一个正实数b,使函数f(x)的定义域和值域相同?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

存在.∵b>0,
①当 a>0时,定义域是包含x=-

b
a
<0,值域是f(x)≥0,不可能相等;
②当 a=0时,定义域是x≥0,值域也是f(x)≥0,符合题意;
③当a<0时,定义域是[0,
b
a
],值域是[0,
b2
−4a
]相同就有
b
a
=
b2
−4a
,解得a=-4;
综合以上得:a=0或a=-4时函数f(x)的定义域和值域相同.