如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．
问题描述：
如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．
答
（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴∠CEP=90°．
∵∠POC=∠PCE，∠P=∠P，
∴△POC∽△PCE，
∴∠PCO=∠CEP=90°．
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OE：EA=1：2，
∴OE：OC=
，OC：OP=1 3
．1 3
∵PA=6，
∴⊙O的半径=3．
（3）连接BC；
∵圆的半径为3，OE：EA=1：2，
∴OE=1，
∴EC=2
，BE=4；
2
∴BC=2
．
6
∵∠PCA=∠B，
∴sin∠B=sin∠PCA=
=2
2
2
6
．
3
3