已知函数f（x）=x3+ax2+bx+4在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）当x≥0时，曲线y=f（x）总在直线y=a2x-4上方，求a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+4在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当x≥0时，曲线y=f（x）总在直线y=a2x-4上方，求a的取值范围．
答
∴当x=-a时，g（x）有最小值g（-a）．
令g（-a）=（-a3+a3+4）-（-a3-4）＞0，
∴a3＞-8，由a≤−
，
∴-2＜a≤ −
．
（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2+bx+4，
∴f′（x）=3x2+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴−
a≥1，即a≤−2 3
．3 2
∵曲线y=f（x）在直线y=a2x-4的上方，
设g（x）=（x3+ax2+4）-（a2x-4），
∴在x∈[0，+∝）时，g（x）≥0恒成立．
∵g′（x）=3x2+2ax-a2=（3x-a）（x+a），
令g′（x）=0，两个根为-a，
，且a 3
＜0＜−a，a 3
| x | （0，-a） | -a | （-a，+∞） |
| g′（x） | - | 0 | + |
| g（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
令g（-a）=（-a3+a3+4）-（-a3-4）＞0，
∴a3＞-8，由a≤−
| 3 |
| 2 |
∴-2＜a≤ −
| 3 |
| 2 |