已知函数y=f(x),满足:对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a).试证明:f(x)为R上的增函数.

问题描述:

已知函数y=f(x),满足:对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a).试证明:f(x)为R上的增函数.

a(f(a)-f(b))-b(f(a-f(b))>0
(a-b)(f(a)-f(b))>0
显然,a-b与f(a)-f(b)同号
所以,若a>b,则f(a)>f(b);
若a即f(x)为R上的增函数。

当a>b时,af(a)+bf(b)--af(b)--bf(a)=(a--b)(f(a)--f(b))>0,故f(a)>f(b),于是f(x)是增函数.