若直线y=x+b与曲线y=3-4x−x2有公共点,则b的取值范围是_.

问题描述:

若直线y=x+b与曲线y=3-

4x−x2
有公共点,则b的取值范围是______.

如图所示:曲线y=3-

4x−x2
,即 (x-2)2+(y-3)2=4( 1≤y≤3,0≤x≤4),
表示以A(2,3)为圆心,以2为半径的一个半圆.
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2,可得
|2−3+b|
2
=2,∴b=1+2
2
,或b=1-2
2

结合图象可得1-2
2
≤b≤3,
故答案为:[1-2
2
,3].