设函数f(x)＝1/3x3−(1+a)x2+4ax+24a，其中常数a＞1． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
问题描述：
设函数f(x)＝
x3−(1+a)x2+4ax+24a，其中常数a＞1．1 3
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
答
（1）f′（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），（2分）
由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，
令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，（5分）
故当a＞1时，f（x）在区间（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函数，在区间（2，2a）上是减函数．（6分）
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．（7分）
f(2a)＝
(2a)3−(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=−1 3
a3+4a2+24a＝−4 3
a(a−6)(a+3)，f（0）=24a．（9分）4 3
则
即
a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0
解得1＜a＜6，
a＞1 −
a(a+3)(a−6)＞04 3 24a＞0
故a的取值范围是（1，6）．（14分）