不等式x+[x-2c]大于1的解集为R,求c的取值范围

问题描述:

不等式x+[x-2c]大于1的解集为R,求c的取值范围
[ ]为绝对值号

三种方法:
思路1函数讨论法
设f(x)=x+|x-2c|-1,
∵x+|x-2c|>1的解集为R,
∴对于一切x∈R,恒为f(x)>0成立.
故f(x)的最小值>0,
而f(x)=(x≥2c)
(x<2c)
可知,f(x)的最小值为2c-1.
故2c-1>0,即c>12.
思路2基本不等式法
不等式x+|x-2c|>1的解集为R函数y=x+|x-2c|在R上的最小值大于1.
而x+|x-2c|≥|x-(x-2c)|=2c,
∴2c>1,即c>12.
思路3解不等式法
x+|x-2c|>1
|x-2c|>1-x
1-x<x-2c<x-1或x-2c>1-x
c>12或x>c+12
由于x+|x-2c|的解集为R,
∴c>12.