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已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（.AP+.BD）•（.PB+.PD）的最大值为 _

分类: 作业答案 • 2023-01-12 15:15:42
问题描述：

已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（

.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）的最大值为 ______

答

以A为坐标原点，以AB为X轴正方向，
以AD为Y轴正方向建立直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
∵P点有对角线AC上，设P（x，x），0＜x＜2
所以

.
AP
=（x，x），
.
BD
=（-2，2），
.
PB
=（2-x，-x），
.
PD
=（-x，2-x）
（
.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）
=4x-4x2=-4（x-
1
2
）2+1
当x=
1
2
时，有最大值为1
故答案为：1

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