已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(.AP+.BD)•(.PB+.PD)的最大值为 _

问题描述:

已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(

.
AP
+
.
BD
)•(
.
PB
+
.
PD
)的最大值为 ______

以A为坐标原点,以AB为X轴正方向,
以AD为Y轴正方向建立直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),
∵P点有对角线AC上,设P(x,x),0<x<2
所以

.
AP
=(x,x),
.
BD
=(-2,2),
.
PB
=(2-x,-x),
.
PD
=(-x,2-x)
.
AP
+
.
BD
)•(
.
PB
+
.
PD

=4x-4x2=-4(x-
1
2
2+1
当x=
1
2
时,有最大值为1
故答案为:1