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已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）． （I）讨论函数f（x）的单调性； （II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[m/2+f′(x)]在区间（2，3）上总存在

分类: 作业答案 • 2023-01-12 14:12:59
问题描述：

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[

m
2
+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．

答

（I）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

a(1−x)
x
，
当a<0时，令f′（x）=
a(1−x)
x
>0，即
1−x
x
<0，解得增区间为（1，+∞），
减区间为（0，1）；
当a>0时，令f′（x）=
a(1−x)
x
>0，即
1−x
x
>0，解得增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
当a=0时，f（x）不是单调函数；
（II）∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）=
a(1−2)
2
=tan45°=1，
∴a=-2，
f′（x）=
−2(1−x)
x
＝
2(x−1)
x
，
g（x）=x3+x2（
m
2
+
2(x−1)
x
）=x3+（
m
2
+2）x2-2x，
g′（x）=3x2+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2<0，要使函数g（x）=x3+x2[
m
2
+f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值，
只需
g′(2)<0
g′(3)>0
，
解得-
37
3
<m<-9；

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