在直角三角形ABC中角ACB等于90度,CD垂直于AB于点D,DE垂直于AC于点E,DF垂直于BC于F,求证AC^3/BC^3=AE/BF
问题描述：
在直角三角形ABC中角ACB等于90度,CD垂直于AB于点D,DE垂直于AC于点E,DF垂直于BC于F,
求证AC^3/BC^3=AE/BF
答
证明：
因为CD是RT三角形ABC的斜边AB上的高
所以∠CDA=∠CDB=90,∠ABC+∠BCD=90,
因为∠ACB=90
所以∠ACD+∠BCD=90,
所以∠ACD=∠ABC,
所以△ACD∽△CBD
所以AC/BC=AD/CD=CD/BD
所以(AC/BC)^2=(AD/CD)*(CD/BD)=AD/BD,
即AC^2/BC^2=AD/BD
所以AC^2/AD=BC^2/BD
两边同乘以AB,得,
(AB/AD)*AC^2=(AB/BD)*BD^2①
因为DE⊥AC,BC⊥AC,
所以DE∥BC②
所以AB/AD=AC/AE,
同理：AB/BD=BC/BF③,
②,③代人到①,得,
(AC/AE)*AC^2=(BC/BF)*BC^2
即AC^3/AE=BC^3/BF
所以AC^3/BC^3=AE/BF