幂级数∑(∞ n=1)(x^n)/n的和函数

问题描述:

幂级数∑(∞ n=1)(x^n)/n的和函数

先将级数 ∑(∞ n=1)(x^n)/n 逐项求导得 d(∑(∞ n=1)(x^n)/n)dx = ∑(∞ n=0)x^n ,当 |x|<1时该级数收敛,其和函数 S(x)= 1/(1-x),即 d(∑(∞ n=1)(x^n)/n)dx = S(x)= 1/(1-x),两端积分得 ∑(∞ n=1)(x^n)/n = -ln(1-x)+ C (C为常数),然后将 x=0代入式中得 C=0 ,因此得结论 ∑(∞ n=1)(x^n)/n = -ln(1-x).