设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵
设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵
这个是答案：
设λ是A的特征值
则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值
而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.
λ^3-2λ^2+4λ-3=(λ-1)(λ^2-λ+3)=0
而实对称矩阵的特征值是实数
所以A的特征值都是1.
所以A为正定矩阵.
个人觉得有问题啊,高数里Cayley-Hamilton定理:特征多项式fx=0导出fA=0,但是fA=0未必特征多项式就是fx=0,这题如果A^3-2A^2+4A-3E=O右乘(A+E),结论还是成立,
即(A+E)(A^3-2A^2+4A-3E)=O,这时就有负特征值,
高数里Cayley-Hamilton定理，写错了 是高等代数里的
这里用到的是如下结论:
若多项式f(x)满足f(A) = 0,则A的特征值都是f(x) = 0的根.
取一个特征向量就能证明.
这里没说f(x)是特征多项式,也没说f(x) = 0的所有根都是A的特征值.如果f(x) = 0的所有根并不都是A的特征值.那上面解答A的特征值都是1.就是错的？这个逻辑是这样的.若λ是A的特征值, 则λ是f(x) = 0的解, 又可证λ是实数.但f(x) = 0的实根只有1, 所以λ只能是1.我的意思是fx=0的实根可能不只有1啊！！！题目的条件确定不了题目里的f(x) = x^3-2x^2+4x-3.可分解为(x-1)(x^2-x+3).x^2-x+3没有实根, 所以f(x)的实根确实只有1.如果把题目改成f(x) = (x+1)(x^3-2x^2+4x-3).那么由f(A) = 0不能推出实对称阵A是正定的, A = -E就是反例.