已知函数f(x)=lnx+1−xax,其中a为大于零的常数. (1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围; (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
问题描述:
已知函数f(x)=lnx+
,其中a为大于零的常数.1−x ax
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
答
f′(x)=
(x>0),ax−1 ax2
(1)由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即a≥
在[1,+∞)上恒成立,1 x
又∵当x∈[1,+∞)时,
≤1,1 x
∴a≥1,即a的取值范围为[1,+∞);
(2)当a≥1时,f′(x)>0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为增函数,
∴f(x)min=f(1)=0;
当0<a≤
,∵f′(x)<0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为减函数,1 2
∴f(x)min=f(2)=ln2-
;1 2a
当
<a<1时,令f′(x)=0,得x=1 2
∈(1,2),1 a
又∵对于x∈[1,
)有f′(x)<0,对于x∈(1 a
,2)有f′(x)>0,1 a
∴f(x)min=f(
)=ln1 a
+1-1 a
,1 a
综上,f(x)在[1,2]上的最小值为
①当0<a≤
时,f(x)min=ln2-1 2
;1 2a
②当
<a<1时,f(x)min=ln1 2
+1-1 a
;1 a
③当a≥1时,f(x)min=0.