如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）． （Ⅰ）证明{an
问题描述：
如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
（Ⅰ）证明{an}是等比数列；
（Ⅱ）求
（a1+a2+…+an）的值． lim n→∞
答
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则r1＝
tan30°＝l 2
l，
3
6
＝sin30°＝
rn−1−rn
rn−1+rn
．1 2
所以rn＝
rn−1(n≥2)，1 3
于是a1＝π
＝
r
12
，πl2
12
＝(an an−1
)2＝rn rn−1
1 9
故{an}成等比数列．
（Ⅱ）因为an＝(
)n−1a1(n∈N)，1 9
所以
(a1+a2+…+an)＝lim n→∞
＝a1 1−
1 9
．3πl2
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